统计02:怎样描绘数据

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 严禁转载。

统计最开使英语 的主要任务只是 描述数据。正如亲戚亲戚大伙儿在统计概述中提到的,群体的数据原应分析蕴藏几滴 的数字,往往我能 读起来头昏脑涨。电影《美丽心灵》中,数学家纳什不自觉地沉浸在一串数字中。另一好多个多多多的电影桥段一好多个劲让观众感到惭愧。但真相是,每各人的注意力和短期记忆都很有限,非要集中在很几滴 的信息。数据描述只是 要用一定的土办法来提取几滴 信息,从而我能 更容易明白数据的含义。数据描述的土办法能非要分为两大门类,即群体参数和数据绘图。两者都起到了冗杂信息作用,从而让数据变得更加易读。

群体参数

群体参数是用就让 数字来表示群体的形态学 。亲戚亲戚大伙儿在统计概述中原应分析介绍了另一好多个多多群体参数,群体平均值和群体方差。群体平均值(population mean)反映群体总体情况汇报,定义如下:

$$\mu=\frac{1}{N} \sum_{i=0}^N x_i$$

群体方差(population variance)反映群体的离散情况汇报,定义如下: 

$$\sigma^2=\frac{1}{N} \sum_{i=0}^N (x_i - \mu)^2$$

方差的平方根,即[$\sigma$],称为群体标准差(standard deviation)。从物理的宽度上来看,平均值和标准差所带的单位,都和原始数据相同。在多数统计案例中,大每种的群体数据会落在平均值加减另一好多个多多标准差的范围内。

还有就让 参数要通过对群体成员进行排序要能获得。比如群体的最大值(max)和最小值(min)。在就让 类参数中,还一好多个劲会用到中位数(median)和四分位数(quartile)。对成员进行排序后,最后面 成员的取值只是 中位数。原应分析群体总数为偶数,非要中位数只是 后面 另一好多个多多成员取值的平均值。按照大于还是小于中位数的标准,成员能非要划分为数目相同的两组。对这两组再求中位数,就能非要获得下四分位数(lower quartile)和上四分位数(upper quartile)。[$Q_1$]和[$Q_3$]之间的距离,称为四分位距(IQR,inter quartile range),也是另一好多个多多常见的群体参数。亲戚亲戚大伙儿用下面符号表示:

$$Q_1 = lower\ quartile$$

$$Q_2 = M = median$$

$$Q_3 = upper\ quartile$$

$$IQR = Q_3 - Q_1$$

中位数是按照400%划分数据,下四分位数是按照25%划分数据,上四分位数是按照75%划分数据。觉得,中位数和四分位数都属于百分位数(percentile)。亲戚亲戚大伙儿用任意比例来划分数据,从而取得百分位数。把数据按数值大小排列,所处p%位置的成员的取值,称第p百分位数

mean: 172.075924
variance: 102.570849846
standard deviation: 10.1277267857
median: 172.21
lower percentile: 165.31
upper percentile: 178.9025
IQR: 13.5925

代码如下:

import numpy as np

with open("xiangbei_height.txt", "r") as f:
        lines = f.readlines()

x = list(map(float, lines))
print("mean:", np.mean(x))
print("variance:", np.var(x))
print("standard deviation:", np.std(x))
print("median:", np.median(x))
print("lower percentile:", np.percentile(x, 25))
print("upper percentile:", np.percentile(x, 75))
print("IQR:", np.percentile(x, 75) - np.percentile(x, 25))

数据绘图

数据绘图利用了人类对形态学 的敏感。在通过数据绘图,亲戚亲戚大伙儿能非要将数字转换的几何图形,让数据中的信息变得更容易消化。数据绘图另一好多个多多多是个费时费力的手工活,但计算机图形的发展让数据绘图变得简单。这两年更是新兴起“数据可视化”,用太少太少炫目的手段来呈现数据。但说到底,经典的绘图非要非要几种,如饼图、散点图、曲线图。“数据可视化”中的创新手法,也只不过是从就让 经典土办法中衍生出来的。原应分析亲戚亲戚大伙儿原应分析形成了约定俗成的数据绘图习惯,绘图土办法上的过度创新甚至会误导读者。太少太少,这里再次出现的,也是经典的统计绘图形式。

原应分析就让 系列统计教程主要用Python,我将基于Matplotlib介绍几种经典的数据绘图土办法。Matplotlib是基于numpy的一套Python工具包,提供了富足的数据绘图工具。当然,Matplotlib不用唯一的选则。有的统计学家更偏爱R语言,而Web开发者流行使用D3.js。熟悉了并不是绘图工具后,总能非要触类旁通,更快地掌握就让 的工具。

饼图

亲戚亲戚大伙儿将以2011年好多个国家的GDP数据为例子,看看如可绘制经典的饼图和条形图。数据如下:

USA        40094025
China      11299967
India       4457784
Japan       4440376
Germany     400990400
Russia      2383402
Brazil      2293954
UK          224004003
France      2217900
Italy       18469400                                                                                                                                                                                                                                 

这是另一好多个多多非要10个成员的群体。群体成员的取值即该成员的2011年的GDP总额。这里的单位是(百万美元)。

亲戚亲戚大伙儿先来绘制饼图 (pie plot)。绘制饼图就像分披萨。整个披萨代表成员取值的总和。每个成员根据各人取值的大小,拿相应大小的那块儿披萨。把后面 的数据绘制成饼图:

从图中能非要看了,在这场“分大饼”的游戏中,美国和生国占了大的份额。不过,亲戚亲戚大伙儿从饼图中读到的只是 比例,没土办法获得成员的具体数值。就让,饼图适用于表示成员取值在总和生所占的百分比。后面 饼图的代码如下:

import matplotlib.pyplot as plt


# quants: GDP
# labels: country name
labels   = []
quants   = []

# Read data
with open('major_country_gdp.txt', 'r') as f:
    for line in f:
        info = line.split()
        labels.append(info[0])
        quants.append(float(info[1]))

print(quants)
# make a square figure
plt.figure(1, figsize=(6,6))

# For China, make the piece explode a bit
def explode(label, target='China'):
    if label == target:
        return 0.1
    else:
        return 0
expl = list(map(explode,labels))

# Colors used. Recycle if not enough.
colors  = ["pink","coral","yellow","orange"]

# Pie Plot
# autopct: format of "percent" string;
plt.pie(quants,
        explode=expl, colors=colors, labels=labels,
        autopct='%1.1f%%',pctdistance=0.8, shadow=True)
plt.title('Top 10 GDP Countries (2011)', bbox={'facecolor':'0.8', 'pad':5})

plt.show()

条形图和直方图

饼图的缺点是无法表达成员的具体取值,而条形图(bar plot)正是用于呈现数据取值。条形图绘制的是另一好多个多多个竖直的长条,就让 长条的宽度就代表了取值。还是用后面 2011年GDP的数据,用条形图绘制出来只是 :

条形图有水平和竖直另一好多个多多方向。水平方向上标出了每个竖条对应的国家,竖直方向标出了GDP的数值。另一好多个多多多,读者就能非要读出每个国家的GDP了。后面 绘图的代码如下:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


# quants: GDP
# labels: country name
labels   = []
quants   = []

# Read data
with open('major_country_gdp.txt') as f:
    for line in f:
        info = line.split()
        labels.append(info[0])
        quants.append(float(info[1]))

width = 0.4
ind = np.linspace(0.5,9.5,10)
# make a square figure
fig = plt.figure(1, figsize=(12,6))
ax  = fig.add_subplot(111)

# Bar Plot
ax.bar(ind-width/2,quants,width,color='coral')

# Set the ticks on x-axis
ax.set_xticks(ind)
ax.set_xticklabels(labels)
# labels
ax.set_xlabel('Country')
ax.set_ylabel('GDP (Million US dollar)')
# title
ax.set_title('Top 10 GDP Countries (2011)', bbox={'facecolor':'0.8', 'pad':5})
plt.show()

基本的条形图只是 另一好多个多多多并不是标记数据取值的绘图土办法。原应分析想知道数值,非要能非要直接从数据表中读出来,大能非要不用画条形图。统计绘图中更常用并不是从条形图中衍生出来的绘图土办法:直方图(histogram)。直方图会对群体数据进行预外理,就让再把预外理结果用条形图的形式画出来。举另一好多个多多简单的例子,在绘图中呈现湘北高中所有学生的身高数据。想象一下,原应分析让每个学生的身高对应另一好多个多多竖条,非要图上就会密密麻麻地挤满数千个竖条,很慢提供有价值的信息。但原应分析画成直方图的形式,看起来就会如下图:

在这幅图中,横坐标成了身高取值。每个竖条的宽度对应了一定的身高范围,这一170cm到172cm。竖条的宽度,对应了身高在该区间内的学生数。就让,直方图先进行了一次分组的预外理,就让用条形图的土办法,画出了每个组蕴藏有的成员总数。在分组的外理中,就让 原始信息丢失,以至于从竖条中没土办法读出学生的具体身高。但得到冗杂的信息变得更容易理解。看了就让 图以前,亲戚亲戚大伙儿能非要有信心地说,大每种学生的身高在170cm付近。而身高低于400cm原应分析身高高于190cm的学生所处的比例很少。原应分析另一好多个多多人只是 读原始数据,很慢短时间内获得后面 的结论。

直方图绘图应用程序如下:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

with open("xiangbei_height.txt", "r") as f:
    lines = f.readlines()

x = list(map(float, lines))

plt.title("Heights of Students (Shohoku High School)")
plt.hist(x, 400)
plt.xlabel("height (cm)")
plt.ylabel("count")
plt.show()

代码中的hist()函数用于绘制直方图,其中的400说明了要生成的区间分组的个数。根据时要,让你能非要具体说明在就让 区间形成分组。

趋势图

趋势图(run chart)又称为折线图,一好多个劲用于呈现时间序列。时间序列是随着时间产生的一组数据,比如上海去年每一天的气温,再比如中国最近400年的GDP。趋势图会把相邻时间点的数据用直线连接起来,从而从视觉上体现出数据随时间变化的形态学 。趋势图在生活中很常见,这一股民就一好多个劲会通过这一的图来了解股价随时间的变化。下面是中国19400-2015年GDP的趋势图:

在就让 趋势图中很容易看了,中国的GDP随着时间快速增长。绘图的代码如下:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


# read data
with open("China_GDP.csv", "r") as f:
    lines = f.readlines()
    info = lines[1].split(",")

# convert data
x = []
y = []

def convert(info_item):
    return float(info_item.strip('"'))

for count, info_item in enumerate(info):
    try:
        y.append(convert(info_item))
        x.append(19400 + count)
    except ValueError:
        print("%s is not a float" % info_item)

# plot
plt.title("China GDP")
plt.plot(x, y)
plt.xlabel("year")
plt.ylabel("GDP (USD)")
plt.show()

散点图

后面 的绘图土办法,本质上也有二维统计图。饼图是国别和比例的二维信息,直方图体现了身高和人数的二维关系,趋势图的另一好多个多多维度则是时间和GDP。散点图(scatter plot)是并不是最直接的表达二维关系的绘图土办法。二维绘图的就让 土办法,都能非要理解成散点图的另一好多个多多变种。

散点图通过在二维平面上标记出数据点来呈现数据。原应分析亲戚亲戚大伙儿想研究湘北高中学生身高和体重的关系,就能非要在表示“身高-体重”的二维平面上,标记出所有成员的数据:

在就让 散点图中,二维平面的横向代表身高,纵向代表体重,每另一好多个多多点代表了另一好多个多多学生。通过就让 点对应的横纵坐标,就能非要读出该学生的身高和体重。散点图能非要直观地呈现所有数据,就让能非要非要他不知道们整体分布上有何形态学 。亲戚亲戚大伙儿从图中能非要看了,体重大体上随着身高增长而增长。

绘图代码如下:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def read_data(filename):
    with open(filename) as f:
        lines = f.readlines()
    return np.array(list(map(float, lines)))

height = read_data("xiangbei_height.txt")
weight = read_data("xiangbei_weight.txt")

plt.scatter(height, weight)

plt.title("Shohoku High School")
plt.xlabel("height(cm)")
plt.ylabel("weight(kg)")
plt.ylim([20, 120])

plt.show()

散点是通过二维的位置来表示数据。在应用中,还能非要通过散点的大小来表示三维的数据。就让 进化了的散点图称为泡泡图(bubble plot)。除了散点的大小,泡泡图有时后要用散点的颜色来表达更高维度的信息。

亲戚亲戚大伙儿来看泡泡图的另一好多个多多例子。下图中绘出了亚洲主要城市的人口。城市的位置蕴藏了二维的信息,即经度和纬度。此外,人口构成了第三维。亲戚亲戚大伙儿用散点的大小来表示就让 维度。

 

数据如下:

Shanghai 240019148  31.23N  121.47E  China
Mumbai   12478447  18.96N  72.82E   India
Karachi  1400400000  24.86N  67.01E   Pakistan
Delhi    16314838  28.67N  77.21E   India
Manila   11855975  14.62N  120.97E  Philippines
Seoul    236140000  37.56N  126.99E  Korea(South)
Jakarta  240019545   6.18S  106.83E  Indonesia
Tokyo    356824400  35.67N  139.77E  Japan
Peking   19612368  39.91N  116.39E  China

代码中使用了matplotlib的Basemap模块来绘制地图:

from mpl_toolkits.basemap import Basemap
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

#============================================# read data
names = []
pops  = []
lats  = []
lons  = []
countries = []

with open("major_city.txt", "r") as f:
    for line in f:
        info = line.split()
        names.append(info[0])
        pops.append(float(info[1]))
        lat  = float(info[2][:-1])
        if info[2][-1] == 'S': lat = -lat
        lats.append(lat)
        lon  = float(info[3][:-1])
        if info[3][-1] == 'W': lon = -lon + 3400.0
        lons.append(lon)
        country = info[4]
        countries.append(country)

#============================================
# set up map projection with
# use low resolution coastlines.
map = Basemap(projection='ortho',lat_0=35,lon_0=120,resolution='l')

# draw coastlines, country boundaries, fill continents.
map.drawcoastlines(linewidth=0.25)
map.drawcountries(linewidth=0.25)

# draw the edge of the map projection region (the projection limb)
map.drawmapboundary(fill_color='#689CD2')

# draw lat/lon grid lines every 400 degrees.
map.drawmeridians(np.arange(0,3400,400))
map.drawparallels(np.arange(-90,90,400))

# Fill continent wit a different color
map.fillcontinents(color='#BF9E400',lake_color='#689CD2',zorder=0)

# compute native map projection coordinates of lat/lon grid.
x, y = map(lons, lats)
max_pop = max(pops)

# Plot each city in a loop.
# Set some parameters
size_factor = 1400.0
y_offset    = 15.0
rotation    = 400

adjust_size = lambda k: size_factor*(k-40000000)/max_pop
for i,j,k,name in zip(x,y,pops,names):
    cs = map.scatter(i,j,s=adjust_size(k),marker='o',color='#FF54000')
    plt.text(i,j+y_offset,name,rotation=rotation,fontsize=10)
    print(i, j)
examples = [14000000, 24000000, 340000000]

pop = 14000000
plt.scatter(400000, 400000,s=adjust_size(pop),marker='o',color='red')
plt.text(400000, 400000+y_offset,str(pop/4000000) + "million",rotation=0,fontsize=10)

pop = 24000000
plt.scatter(3400000, 400000,s=adjust_size(pop),marker='o',color='red')
plt.text(3400000, 400000+y_offset,str(pop/4000000) + "million",rotation=0,fontsize=10)

pop = 340000000
plt.scatter(6400000, 400000,s=adjust_size(pop),marker='o',color='red')
plt.text(6400000, 400000+y_offset,str(pop/4000000) + "million",rotation=0,fontsize=10)


plt.title('Major Cities in Asia & Population')
plt.show()

箱形图

以前的绘图土办法侧重点在原始数据。还有就让 绘图是为了呈现群体参数,比如箱形图(box plot)。比如湘北高中身高数据绘制成箱形图:

 

如图中标注的,箱形图体现的主只是 中位数和四分位数。上下四分位数构成了箱子,其蕴藏有了一半的数据成员。此外,上下还有另一好多个多多边界,所处箱子的上下边缘各外推1.好多个箱子宽度的位置。原应分析外推1.好多个箱子位置超出了数据库的极值,非要边界去掉 极值的宽度。就让,将有数据点超出边界。就让 数据点被认为是异常值(outlier),用散点的土办法画出。

代码如下:

import matplotlib.pyplot as plt


with open("xiangbei_height.txt", "r") as f:
        lines = f.readlines()

x = list(map(float, lines))
plt.boxplot(x)

plt.title("box plot of Shohoku High School")
plt.xticks([1], ['Shohoku'])
plt.ylabel("height (cm)")
plt.show()

箱形图体现了另一好多个多多思路,只是 在绘制原始数据的一起画出群体参数,从而辅助亲戚亲戚大伙儿理解数据。比如,亲戚亲戚大伙儿能非要在直方图中标出平均值和标准差:

代码如下:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

with open("xiangbei_height.txt", "r") as f:
    lines = f.readlines()

x = list(map(float, lines))

plt.title("Heights of Students (Shohoku High School)")

plt.hist(x, 400)
plt.xlabel("height (cm)")
plt.ylabel("count")

mu  = np.mean(x)
std = np.std(x)

h = 120
text_color = "white"

plt.axvline(x=mu, color="red")
plt.text(mu, h,'mean',rotation=90,color=text_color)

plt.axvline(x=mu-std, color="coral")
plt.text(mu-std, h,'mean-std',rotation=90,color=text_color)

plt.axvline(x=mu+std, color="coral")
plt.text(mu+std, h,'mean+std',rotation=90,color=text_color)

plt.show()

如可画好图

尽管这里说明了就让 常用的数据绘图土办法,但数据绘图的过程蕴藏太少太少人为创作的因素在。就让,同另一好多个多多数据库,甚至同并不是绘图形式,都原应分析产生多种多样的数据图像。不同的数据图像,在传递信息的有效性上,会产生不小的差别。如可画好数据图呢?我根据各人的经验,总结了下面好多个标准:

  1. 选则目的。尽管在研究过程中,亲戚亲戚大伙儿会画出几滴 的数据图,但在展示数据图时,要有所侧重。
  2. 在标题中说明一张数据图的主要内容。
  3. 标明每另一好多个多多坐标轴,并标明坐标的刻度和单位。
  4. 原应分析非要坐标轴,时要用图例来说明读数。这一在泡泡图中用图例说明泡泡大小所代表的读数。
  5. 在图中标注附加的图像元素,如代表平均值的标示线、代表拟合的虚线曲线等。
  6. 备份数据、图像文件和相关代码。

在介绍一副数据图时,要能非要遵循一定的顺序:

  1. 得话说明画了就让 :“这幅图描绘了湘北高中学生身高分布。”
  2. 说明坐标轴:“图中横轴代表了身高,纵轴代表了人数。”
  3. 说明主要图像元素的含义:“每个竖条对应一定的身高区间。竖条的宽度,代表了该身高区间内学生的人数。”
  4. 说明每种图像元素的含义:“红线代表了学生的平均身高。”
  5. 引导读者深入解读:“能非要看了,学生身高大多集中在平均值付近……”

当然,对于所处人为创作因素的数据绘图来说,也非要定法。但建立一定的流程,能提高绘图的波特率。太少太少我也建议你建立各人的绘图流程。

总结

在就让 篇文章里,我主要用参数和绘图呈现群体的数据。这一的土办法还一好多个劲用于呈现样品数据。原应分析在描绘样品时时要涉及到统计推断,太少太少我把样品描绘的土办法放上将在统计推断的相关文章中讲解。

原应分析你想更多地了解Matplotlib,能非要参考官方文档,以及我以前写的这篇文章:matplotlib核心剖析 。

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